某轴承厂有甲、乙、丙三个车间，各车间生产的轴承数量分别占全厂的40%、30%、 30%，各车间的次品率分别为3%、4%、5%(正品率分别为97%、96%、95%)。以上叙述如下图所示。
在图中，从“厂”结点出发选择三个车间产品的概率分别为0.4、0.3、0.3，从各“车间”结点出发选择“正品”或“次品”的概率如图所示。从“厂”结点出发，到达“正品”(或“次品”)结点，可以有多条路径。例如，路径“厂—甲一次品”表示该厂甲车间生产的次品，其概率P(厂一甲一次品)应等于各段上的概率之积。而该厂总的次品率应等于从“厂”结点到达“次品”结点的所有路径算出的概率之和(全概率公式)。而其中每条路径算出的概率在总概率中所占的比例，就是已知抽取产品结果再推测其来源 (路径)的概率(逆概率公式)。根据以上描述，可以算出，该厂的正品率约为 (53) 。如果上级抽查取出了一个次品，那么该次品属于甲车间生产的概率约为 (54) 。
A．0.25
B．0.28
C．0.31
D．0.34
参考答案：C
解析：为计算该厂的正品率P(厂一正品)，应先找出从“厂”结点到“正品”结点的所有路径。可以发现共有3条路径：厂一甲一正品、厂一乙一正品、厂一丙一正品。所以，全厂总的正品率等于各条路径算出的概率之和，而每条路径的概率等于其分段概率之积 (条件概率公式)，因此：
P(厂一正品)=P(厂一甲一正品)+P(厂一乙一正品)+P(厂一丙一正品)
=0.4×0.97+0.3×0.96+0.3×0.95=0.961
同样，全厂总的次品率为：
P(厂一次品)=P(厂一甲一次品)+P(厂一乙一次品)+P(厂一丙一次品)
=0.4×0.03+0.3×0.04+0.3×0.05=0.039
如果上级抽查取得了一个次品，为推测它的来源(属于哪个车间生产的)，就要分析，从“厂”结点到“次品”结点的3条路径算出的总概率中，各条路径算出的概率所占的比例。
总的次品概率为0.039，那么从甲车间来的概率应等于：
P(厂一甲一次品)/{P(厂一甲一次品)+P(厂一乙一次品)+P(厂一丙一次品)}
=0.4×0.03+0.039=0.3077
理解全概率与逆概率公式对许多学生来说是非常困难的。但这里介绍的这种方法非常直观，即使更复杂的这类问题，也很容易计算。这是典型的学习数学的直观思维方法。
