问题 解答题
已知等差数列{an}的前n项和为An,a1+a5=6,A9=63.
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和An
(2)数列{bn}的前n项和Bn满足:6Bn=8bn-1,(n∈N*),数列{an•bn}的前n项和为Sn,求证:
Sn
4n
≥-
1
8
答案

(1)∵A9=63,∴9a5=63,∴a5=7

∵a1+a5=6,∴a1=-1,∴d=

a5-a1
4
=2

∴an=2n-3,An=

n(-1+2n-3)
2
=n2-2n

(2)证明:∵6Bn=8bn-1,6Bn-1=8bn-1-1,(n≥2,n∈N*)

∴两式相减可得:6bn=8bn-8bn-1

bn
bn-1
=4(n≥2)

∵6b2=8b1-1

∴b1=

1
2

∴bn=22n-3

∴anbn=(2n-3)•22n-3

∴Sn=-1•2-1+1•21+…+(2n-3)•22n-3

∴4Sn=-1•21+1•23+…+(2n-3)•22n-1

两式相减可得-3Sn=

(11-6n)22n-11
6

Sn
4n
=
6n-11
18
+
11
18•4n

Sn+1
4n+1
-
Sn
4n
=-
11
4n+1
>0

Sn
4n
随着n的增大而增大

Sn
4n
S1
4
=-
1
8

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