问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。
答案
解：（1）双曲线C1：
左顶点A（-
），渐近线方程为：y=±
x
过A与渐近线y=
x平行的直线方程为y=
（x+
），即y=
，所
以
，解得
所以所求三角形的面积为S=
。
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故
，即b2=2，
由
，得x2-2bx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
又y1y2=（x1+b）（x2+b）
所以
=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（-1-b2）+2b2+b2=b2-2=0
故PO⊥OQ。
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=
，
则O到直线MN的距离为
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞
），
则直线OM的方程为y=
，
由
得
，
所以
同理
，
设O到直线OM的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以
=
=3，即d=
综上，O到直线MN的距离是定值。
