问题
解答题
| 已知等差数列{an}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4． （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式； （Ⅱ）证明
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答案
（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则
∵a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d)
∵a1=3，∴d2-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴an=3+2（n-1）=2n+1
∵q=
=b3 b2
=3，b1=a4 a1
=1b2 q
∴bn=3n-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知Sn=n2+2n
∴
=1 Sn
=1 n(n+2)
（1 2
-1 n
）1 n+2
∴
+1 S1
+…+1 S2
=1 Sn
[(1-1 2
)+(1 3
-1 2
)+…+(1 4
-1 n
)]=1 n+2
(1+1 2
-1 2
-1 n+1
)1 n+2
=
-3 4
(1 2
+1 n+1
)＜1 n+2 3 4
∵
+1 n+1
≤1 n+2
+1 2
=1 3 5 6
∴
-3 4
(1 2
+1 n+1
)≥1 n+2 1 3
∴
≤1 3
+1 S1
+…+1 S2
＜1 Sn 3 4