问题
解答题
已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为
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答案
由题意可设所求双曲线方程为:
-x2 a2
=1(a>0,b>0),y2 b2
设直线 y=
(x-4)与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),1 3
则
(1)-(2)得:
2-x1 a2
2=1(1)y1 b2
2-x2 a2
2=1(2)y2 b2
-(x1-x2)(x1+x2) a2
=0(y1-y2)(y1+y2) b2
即
=(x1+x2)b2 (y1+y2)a2
,y1-y2 x1-x2
又由线段AB中点的横坐标为-
可得,其纵坐标为2 3
(-1 3
-4)=-2 3
,14 9
∴x1+x2=2×(-
)=-2 3
,y1+y2=2×(-4 3
)=-14 9
.28 9
又∵
=y1-y2 x1-x2
,1 3
∴
=-
b24 3 -
a228 9
,1 3
∴b2=
a2,c2=a2+b2=7 9
a2,c=16 9
a4 3
又∵双曲线两准线间的距离为
,9 2
∴2×
=a2 c
,9 2
∴2×
=a2
a4 3 9 2
∴a=3,a2=9,c2=
a2=16.16 9
∴b2=c2-a2=7.
∴所求双曲线方程为:
-x2 9
=1.y2 7