由题意可设所求双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，

设直线 y=

1

3

（x-4）与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则

x1 a2 2- y1 b2 2=1(1) x2 a2 2- y2 b2 2=1(2)

（1）-（2）得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0

即

(x1+x2)b2

(y1+y2)a2

=

y1-y2

x1-x2

，

又由线段AB中点的横坐标为-

2

3

可得，其纵坐标为

1

3

(-

2

3

-4)=-

14

9

，

∴x1+x2=2×(-

2

3

)=-

4

3

，y1+y2=2×(-

14

9

)=-

28

9

．

又∵

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，

∴

- 4 3 b2

- 28 9 a2

=

1

3

，

∴b2=

7

9

a2，c2=a2+b2=

16

9

a2，c=

4

3

a

又∵双曲线两准线间的距离为

9

2

，

∴2×

a2

c

=

9

2

，

∴2×

a2

4 3 a

=

9

2

∴a=3，a²=9，c²=

16

9

a²=16．

∴b²=c²-a²=7．

∴所求双曲线方程为：

x2

9

-

y2

7

=1．