问题 解答题
已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为
9
2
,并且与直线y=
1
3
(x-4)
相交所得线段中点的横坐标为-
2
3
,求这个双曲线方程.
答案

由题意可设所求双曲线方程为:

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),

设直线 y=

1
3
(x-4)与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),

x1
a2
2
-
y1
b2
2
=1(1)
x2
a2
2
-
y2
b2
2
=1(2)
(1)-(2)得:
(x1-x2)(x1+x2)
a2
-
(y1-y2)(y1+y2)
b2
=0

(x1+x2)b2
(y1+y2)a2
=
y1-y2
x1-x2

又由线段AB中点的横坐标为-

2
3
可得,其纵坐标为
1
3
(-
2
3
-4)=-
14
9

x1+x2=2×(-

2
3
)=-
4
3
y1+y2=2×(-
14
9
)=-
28
9

又∵

y1-y2
x1-x2
=
1
3

-
4
3
b2
-
28
9
a2
=
1
3

b2=

7
9
a2c2=a2+b2=
16
9
a2
c=
4
3
a

又∵双曲线两准线间的距离为

9
2

a2
c
=
9
2

a2
4
3
a
=
9
2

∴a=3,a2=9,c2=

16
9
a2=16.

∴b2=c2-a2=7.

∴所求双曲线方程为:

x2
9
-
y2
7
=1.

解答题
单项选择题