解：（1）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，

所以，对任意的x∈R，g（-x）=-g（x），即f（-x）- 2=-f（x）+2

又f（x）=x³+ax²+3bx+c，

所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2

所以

解得a=0，c=2。

（2）由（1）得f（x）=x³+3bx+2

所以f′（x）=3x²+3b（b≠0）

当b＜0时，由f′（x）=0得x=±

x变化时，f′（x）的变化情况如下表：

所以，当b＜0时，函数f （x）在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，

在（，+∞）上单调递增

当b＞0时，f′（x）＞0

所以函数f （x）在（-∞，+∞）上单调递增。