已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=12(3n-1)（n∈N*），等差数列{

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，Sn=

(3n-1)（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

答案

（1）a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1，n＞1，

∴a_n=3^n-1（n∈N^*），

∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，

在等差数列{b_n}中，

∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．

又因a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，

设等差数列{b_n}的公差为d，

∴（1+5-d）（9+5+d）=64，解得d=-10或d=2，

∵b_n＞0（n∈N^*），

∴舍去d=-10，取d=2，∴b₁=3．

∴b_n=2n+1（n∈N^*）．

（2）由（1）知

∴T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n

=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）

1-3n

1-3

n(3+2n+1)

+n2+2n-

．