问题
问答题
设函数[*]，
(Ⅰ)求证：对每个正整数n，方程fn(x)=1存在唯一的正根xn；
(Ⅱ)求极限[*]．
答案
参考答案：[证明与求解] (Ⅰ)由于当|x|＜1时，函数
[*]
从而[*]．由连续函数中间值定理即知，对于每个正整数n，方程fn(x)=1存在一个根[*]．此外，当x＞0时还有[*]+1＞1，即函数fn(x)当x＞0时单调增加，故fn(x)=1最多只有一个正根．综合即知：对于每个正整数n，方程fn(x)=1存在唯一正根[*]．
(Ⅱ)方法1°把[*]可得
[*]
再把拉格朗日中值定理用于差[*]，并利用[*]即知：存在[*]使得
[*]
把以上所得的不等式联合起来可得，对于n=1，2，3，…，有
[*]
由极限的夹逼定理即得[*]．
方法2° 从研究数列{xn}的单调性入手，对于每个正整数n当x＞0时有fn+1(x)=xn+2+fn(x)＞fn(x)，由此可得
[*]
注意函数fn+1(x)当x＞0时单调增加，由上式可得xn+1＜xn对每个正整数n成立，于是数列{xn}满足
[*]
按单调有界数列极限存在定理即知极限[*]存在，记[*]，则a满足
[*]
在等式[*]两端令n→∞取极限，并利用[*]，即得
[*]