已知数列{an}的前n项和Sn=12n(n-1)，且an是bn与1的等差中项．（

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

n(n-1)，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

nan

(n≥2)，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若f(n)=

an，n=2k-1

bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并说明理由．

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n（n-1）-

（n-1）（n-2）=n-1，

把n=1代入验证，满足通项公式，

则a_n=n-1，又a_n是b_n与1的等差中项，

则b_n=2a_n-1=2（n-1）-1=2n-3；

（2）因为a_n=n-1，

所以cn=

n(n-1)

n-1

(n≥2)，

则c₂+c₃+c₄+…+c_n=1-

…+

n-1

=1-

；

（3）不存在，理由为：

当n是奇数时，n+11为偶数，

此时f（n）=a_n=n-1，f（n+11）=b_n+11=2n+19，

由f（n+11）=2f（n）知无解；

当n是偶数时，n+11为奇数，

此时f（n）=b_n=2n-3，f（n+11）=a_n+11=n+10，

由f（n+11）=2f（n）知无解，

所以满足题意的n不存在．