问题 解答题
已知双曲线C的方程为
x2
4
-
y2
5
=1,若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5.
(I)求m的值;
(II)设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于P1,P2,且点P分有向线段
P1P2
所成的比为λ(λ>0).当λ∈[
3
4
3
2
]
时,求|
OP1
||
OP2
|(O为坐标原点)的最大值和最小值.
答案

(I)由双曲线C的方程为

x2
4
-
y2
5
=1可得a=2,b=
5

∴c=3,e=

c
a
=
3
2

左右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).

由直线x-my-3=0可知:直线恒过定点焦点F2(3,0).

于是直线与双曲线的右支相交,设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

由双曲线的第二定义可得:

|AF2|
|x1-
a2
c
|
=e=
3
2
,即|AF2|=
3
2
x1-2
,同理|BF2|=
3
2
x2-2

∴|AB|=|AF2|+|BF2|=

3
2
(x1+x2-4),由题意可得:
3
2
(x1+x2)-4=5
,∴|x1+x2|=6,

由直线过焦点F2(3,0),可知x1=x2=3,

此时直线垂直于x轴,∴m=0.

(II)双曲线C的渐近线方程分别为l1y=

5
2
x,l2y=-
5
2
x

设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2).

且点P分有向线段

P1P2
所成的比为λ(λ>0).

y1=

5
2
x1y2=-
5
2
x2
x=
x1x2
1+λ
y=
y1y2
1+λ
=
5
2
x1x2
1+λ

由点P(x,y)在双曲线

x2
4
-
y2
5
=1上,∴
(x1x2)2
4(1+λ)2
-
5
4
(x1x2)2
(1+λ)2
=1

化简得x1x2=

(1+λ)2
λ
,又|
OP1
|=
x21
+
5
4
x21
=
3
2
|x1|
,同理可得:|
OP2
|=
3
2
|x2|

|

OP1
| |
OP2
|=
9
4
(1+λ)2
λ
(λ>0),

令u(x)=

(1+λ)2
λ
=λ+
1
λ
+2,

又u(λ)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,而λ∈[

3
4
3
2
],

∴u(λ)min=u(1)=4,u(λ)max=u(

3
2
)=
25
6

于是:|

OP1
| |
OP2
|的最大值为
75
8
,最小值为9.

判断题
选择题