问题
解答题
已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）若c=anbn，求：数列{cn}的前n项和Tn； （3）求证：
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答案
（1）由Sn=
(an+1)2，1 4
当n=1时，a1=
(a1+1)2，∴a1=1，1 4
当n≥2时，Sn-1=
(an-1+1)2，1 4
∴an=Sn-Sn-1=
(1 4
-a 2n
+2an-2an-1)，a 2n-1
即（an+an+1）（an-an-1-2）=0，∵an＞0，
∴数列{an}是a1=1，d=2的等差数列
∴an=a1+（n-1）d=2n-1．
∵数列{bn}是首项为1，公比为
的等比数列．1 2
∴bn=b1qn-1=1×(
)n-1=(1 2
)n-1．1 2
（2）cn=anbn=
，Tn=c1+c2+…+cn2n-1 2n-1
Tn=1+
+3 2
+…+5 22
，①2n-1 2n-1
Tn=1 2
+1 2
+…+3 22
+2n-3 2n-1
，②2n-1 2n
①-②得
Tn=1+1+1 2
+1 2
+…+1 22
-1 2n-2
=2n-1 2n
-1-2(1-(
)n)1 2 1- 1 2
=3-2n-1 2n
-1 2n-2
，2n-1 2n
∴Tn=6-2n+3 2n-1
（3）∵Sn=
(an+1)2=1 4
(2n-1+1)2=n2，1 4
当n≥2，
=1 Sn
＜1 n2
=1 n2-1
(1 2
-1 n-1
)，1 n+1
∴
+1 S1
+…+1 S2
＜1+1 Sn
+1 22
[(1 2
-1 2
)+(1 4
-1 3
)+…+(1 5
-1 n-2
)+(1 n
-1 n-1
)]1 n+1
=1+
+1 4
(1 2
+1 2
-1 3
-1 n
)＜1+1 n+1
+1 4
(1 2
+1 2
)=1+1 3
+1 4
+1 4
=1 6
．5 3