问题 填空题
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=
a2
4
的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若
OE
=
1
2
(
OF
+
OP
)
,则双曲线的离心率为______.
答案

OE
=
1
2
(
OF
+
OP
),

∴E为PF的中点,令右焦点为F′,则O为FF′的中点,

则PF′=2OE=a,

∵E为切点,

∴OE⊥PF

∴PF′⊥PF

∵PF-PF′=2a

∴PF=PF′+2a=3a

在Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2

即9a2+a2=4c2

⇒所以离心率e=

c
a
=
10
2

故答案为:

10
2

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