在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数

问题解答题

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b2+S2=12，q=

．
（I）求a_n与b_n；
（II）设Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求T_n的值．

答案

解（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，

且b2+S2=12，q=

，

∴

b1q+a1+a2=12

a1+a2

1•q

，即

q+6+d=12①

6+d=q2 ②

，解得：

d=3

q=3

．

∴a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，

bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．

（Ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₁b_n

=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•3²+…+3×2×3^n-2+3•3^n-1

=n•3+（n-1）•3²+（n-2）•3³+…+2•3^n-1+3ⁿ．

∴3Tn=n•32+(n-1)•33+…+2•3n+3n+1．

∴3Tn-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1

=（3²+3³+…+3ⁿ⁺¹）-3n

9×(1-3n)

1-3

-3n=

3n+2

-3n-

．

∴Tn=

3n-1

-n-

．