∵知函数f（x）=

1

x-1

，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），

∴a_n+2=

1

an-1

，

取n=2011，a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，a_n+2=

1

an-1

，

可得a₂₀₁₃=

1

a2011-1

=a₂₀₁₁，所以（a₂₀₁₁）²-a₂₀₁₁-1=0，

∴a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0

∴a₂₀₁₁=

5 +1

2

，

∵a_n+2=

1

an-1

，

∴a₂₀₀₉=

1

a2011-1

=

1

5 +1 2 -1

=

2( 5 +1)

4

=

5 +1

2

，

a₂₀₀₇=

1

a2009-1

=

5 +1

2

a₂₀₀₆=

1

a2007-1

=

5 +1

2

依此类推可得

∴a₁=

1

a2-1

=

5 +1

2

故答案为：

5 +1

2

；