问题
问答题
设d是线性方程组AX=b的解，β1，β2，…，βt是其导出组的基础解系，令
γ1=α+β1，γ2=α+β2，…，γt=α+βt
试证：
α，γ1，γ2，…，γt线性无关；
答案
参考答案：设x，x1，x2，…，xt是一组数，使
xα+x1γ1+x2γ2+…+xtγt=0.
将γi=α+βi(i=1，2，…，t)代入整理得
(x+x1+…+xt)α+x1β1+x2β2+…+xtβt=0. ①
用矩阵A左乘式①，因为βi(i=1，2，…，t)是AX=0的解，故Aβi=0
(x+x1+…+xt)Aα=(x1+x2+…+xt)b=0.
但b≠0，所以
x+x1+x2+…+xt=0. ②
将式②代入式①得x1β1+x2β2+…+xtβt=0.
由于β1，β2，…，βt是AX=0的基础解系，故线性无关，得
x1=x2=…=xt=0. ③
再将式③代入式②，知x=0，于是α，γ1，γ2，…，γt线性无关.