设d是线性方程组AX=b的解，β1，β2，…，βt是其导出组的基础解

问题问答题

设d是线性方程组AX=b的解，β₁，β₂，…，β_t是其导出组的基础解系，令
γ₁=α+β₁，γ₂=α+β₂，…，γ_t=α+β_t
试证：

方程组Ax=b的任一解γ可表示为γ=l₀α+l₁γ₁+l₂γ₂+…+l_tγ_t，其中l₀+l₁+…+l_t=1.

答案

参考答案：由非齐次方程组解的结构知，若γ是AX=b的解，其可表示为
γ=α+k₁β₁+k₂β₂+…+k_tβ_t
=α+k₁(γ₁-α)+k₂(γ₂-α)+…+k_t(γ_t-α)
=(1-k₁-k₂-…-k_t)α+k₂γ₁+k₂γ₂+…+k_tγ_t ④
令l₀=1-k₁-k₂…-k_t，l₁=k₁，l₂=k₂，…，l_t=k_t. 式④可表示为
γ=l₀α+l₁γ₁+l₂γ₂+…+l_tγ_t且l₀+l₁+l₂+…+l_t=1.

解析：[考点] 非齐次线性方程的解与其导出组的基础解系的关系