问题
问答题
已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0).
(Ⅰ)证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞).
(Ⅱ)证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的.
(Ⅲ)求y=y(x)的渐近线.
答案
参考答案：(Ⅰ)因为
=1-e-t＞0(t＞0)，
在[0，∞)单调上升，值域为[1，+∞)
x=t+e-t在[0，+∞)存在反函数，记为t=t(x)，它在[1，+∞)连续(单调连续函数的反函数连缤). 再由连续的复合函数的连续性
y(x)在[1，+∞)连续.
(Ⅱ)由参数式求导法
(t＞0，即x＞1)
于是y=y(x)在[1，+∞)单调上升，又
(t＞0即x＞1)
因此y=y(x)在[1，+∞)是凸的.
(Ⅲ)
又因y=y(x)在[1，+∞)连续，所以y=y(x)只有渐近线y=2x.
