问题
问答题
(Ⅰ)设f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)≠0，且
，求证：存在常数C，使得f(x)= Cg(x)(
x∈(a，b))；
(Ⅱ)设f(x)在(-∞，+∞)二阶可导，且f(x)≤0，f″(x)≥0(x∈(-∞，+∞)). 求证：f(x)为常数(
x∈(-∞，+∞)).
答案
参考答案：(Ⅰ)即证f(x)/g(x)在(a，b)为常数. 由
f(x)/g(x)在(a，b)为常数，即
常数C，使
，即f(x)=Cg(x)(
x∈(a，b)).
(Ⅱ)只需证f′(x)=0(
x∈(-∞，+∞)).
若f′(x)≠0
x0∈(-∞，+∞)，f′(x0)≠0. 类似于凹函数性质，有
f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)(
x∈(-∞，+∞)).
当f′(x0)＞0时
；当f′(x0)＜0时
，均与f(x)≤0(x∈(-∞，+∞))矛盾.
因此，f′(x)=0(
x)，即f(x)为常数(
x).
解析：①若f″(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，则
x，x0，有
f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x，x0).
证法1°由泰勒公式得
其中f在x与x0之间，
证法2°
其中ξ在x与x0之间，f′(x)单调不减，
②证明函数f(x)在给定的区间内恒等于零，常利用导数为零、最大值等于最小值、微分中值定理、泰勒公式等方法. 本题中f(x)为抽象函数，又
x∈(-∞，+∞)，故考虑利用反证法.