参考答案：(Ⅰ)据已知条件，有
A(α₁，α₂，α₃)=(-α₁-3α₂-3α₃，4α₁+4α₂+α₃，-2α₁+3α₃)

记

及P₁=(α₁，α₂，α₃)，那么由α₁，α₂，α₃线性无关知矩阵P₁可逆，且

，即A与B相似.
由矩阵B的特征多项式

得矩阵B的特征值是1，2，3. 从而知矩阵A的特征值是1，2，3.
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β₁=(1，1，1)^T，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，
由(2E-B)x=0得基础解系β₂=(2，3，3)^T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，
由(3E-B)x=0得基础解系β₃=(1，3，4)^T，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，
那么令P₂=(β₁，β₂，β₃)，则有

于是令

=(α₁+α₂+α₃，2α₁+3α₂+3α₃，α₁+3α₂+4α₃)，
则有

所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为
k₁(α₁+α₂+α₃)，k₂(2α₁+3α₂+3α₃)，k₃(α₁+3α₂+4α₃)，k_i≠0(i=1，2，3).
(Ⅲ)由

及|A|=6知，

从而

，所以秩r(A^*-6E)=2.

解析：本题综合性强，知识点与方法多，考生需很好地思考与总结. 例如在特征值的求法上既有用特征多项式，又有用相似矩阵有相同的特征值，还有相关联矩阵特征值之间的联系等方法；在求特征向量时既有齐次方程组(λ_iE-A)x=0的解，又有P^-1AP=A中，P是A的特征向量. 本题还涉及相似时可逆矩阵P的求法以及相关联矩阵间相似问题等等.