已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=nan,求证:b1+b2+…+bn<
|
(1)∵Sn=
(1-an),∴n≥2时,Sn-1=1 2
(1-an-1).1 2
两式相减可得an=
(an-1-an),∴1 2
=an an-1 1 3
∵n=1时,a1=S1=
(1-a1),∴a1=1 2 1 3
∴数列{an}是以
为首项,1 3
为公比的等比数列1 3
∴an=
•(1 3
)n-1=(1 3
)n;1 3
(2)证明:bn=nan=n•(
)n1 3
令Tn=b1+b2+…+bn,即Tn=1•
+2•(1 3
)2+…+n•(1 3
)n1 3
∴
Tn=1•(1 3
)2+2•(1 3
)3+…+(n-1)•(1 3
)n+n•(1 3
)n+11 3
两式相减可得
Tn=1•2 3
+1•(1 3
)2+1•(1 3
)3+…+1•(1 3
)n-n•(1 3
)n+1=1 3
-n•(
[1-(1 3
)n]1 3 1- 1 3
)n+1=1 3
-n•(1-(
)n1 3 2
)n+11 3
∴Tn=
-3[1-(
)n]1 3 4
•(3n 2
)n+1,1 3
∴Tn<
.3 4