问题 解答题
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
1
2
(1-an).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=nan,求证:b1+b2+…+bn
3
4
答案

(1)∵Sn=

1
2
(1-an),∴n≥2时,Sn-1=
1
2
(1-an-1).

两式相减可得an=

1
2
(an-1-an),∴
an
an-1
=
1
3

∵n=1时,a1=S1=

1
2
(1-a1),∴a1=
1
3

∴数列{an}是以

1
3
为首项,
1
3
为公比的等比数列

∴an=

1
3
•(
1
3
)n-1=(
1
3
)n

(2)证明:bn=nan=n•(

1
3
)n

令Tn=b1+b2+…+bn,即Tn=1•

1
3
+2•(
1
3
)
2
+…+n•(
1
3
)
n

1
3
Tn=1•(
1
3
)
2
+2•(
1
3
)
3
+…+(n-1)•(
1
3
)
n
+n•(
1
3
)
n+1

两式相减可得

2
3
Tn=1•
1
3
+1•(
1
3
)
2
+1•(
1
3
)
3
+…+1•(
1
3
)
n
-n•(
1
3
)
n+1
=
1
3
[1-(
1
3
)n]
1-
1
3
-n•(
1
3
)
n+1
=
1-(
1
3
)
n
2
-n•(
1
3
)
n+1

∴Tn=

3[1-(
1
3
)
n
]
4
-
3n
2
(
1
3
)
n+1

∴Tn

3
4

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