问题
单项选择题
设f′(x0)=0，f″(x0)＜0，则必定存在一个正数δ，使得
A．曲线y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凹的.
B．曲线y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凸的.
C．曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]单调减少，而在[x0，x0+δ)单调增加.
D．曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]单调增加，而在[x0，x0+δ)单调减少.
答案
参考答案：C
解析：
由极限的不等式性质
，当x∈(x0-δ，x0+δ)且x≠x0时，
当x∈(x0-δ，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，x0+δ)时，f′(x)＜0. 又f(x)在x=x0连续
f(x)在(x0-δ，x0]单调增加，在[x0，x0+δ)单调减少. 故应选D.
①若
x0的某邻域(x0-δ，x0+δ)使得f(x)＞f(x0)(x∈(x0-δ，x0))，且f(x)＜f(x0)(x∈(x0，x0+δ))，则称f(x)在x0是下降的，由
在x0是下降的，由此结论知，
在x0下降，再由f′(x0)=0，于是有结论D.
②若f″(x0)＜0，又f″(x)在x=x0连续
，x∈(x0-δ，x0+δ)时，f″(x)＜0
f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凸的，但若f″(x0)＜0，又f″(x)在x0不连续
0，当x∈(x0-δ，x0+δ)时，f(x)是凸的.