∵双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1

∴双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2+b2

∵圆方程为x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²

∴该半径等于c，且圆经过F₁和F₂．

∵点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与圆x²+y²=a²+b²的交点，

∴△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°

∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°

∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=

3

c，|PF₂|=c

根据双曲线定义，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）c

∴双曲线的离心率e=

2c

2a

=

2

3 -1

=

3

+1

故选：D