参考答案：[详解] (1)[*]
同理 [*]
故 [*]
(2)由[*]及分母的极限为0知，f(1)=1，于是
[*]
对于方程[*]=0，令P=f’(r)，P’=f"(r)，可化为[*]，求得[*]并由f’(1)=1，得C₁=1，故[*]从而[*]再由f(1)=1，得C₂=2．
故 [*]

解析：

[分析]： 先求出三个二阶偏导数再代入已知等式中即可得微分方程．
注意[*]，相当于已知条件f(1)=1，f’(1)=1，由此可确定f(r)的表达式．
[评注] ①本题综合考查了极限、导数、偏导数以及微分方程的求解等多个重要知识点．在求偏导数时，应注意利用对称性类推得到结果，从而可简化相关的计算过程．
②微分方程[*]也可改写为rf"(r)+f’(r)+f’(r)=0．
即(rf’(r))’+f’(r)=0，积分得rf’(r)+f(r)=C₁，且由f(1)=1，
f’(1)=1得C₁=2，即
rf’(r)+f(r)=2．
进而有(rf(r))’=2，积分得rf(r)=2r+C₂．又由f(1)=1得C₂=-1，故[*]