问题 解答题
已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点,点C的坐标是(1,0).
(I)证明
CA
CB
为常数;
(Ⅱ)若动点M满足
CM
=
CA
+
CB
+
CO
(其中O为坐标原点),求点M的轨迹方程.
答案

(I)证明:由条件知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).

当AB与x轴垂直时,可设点A,B的坐标分别为(2,

2
),(2,-
2
)

此时

CA
CB
=(1,
2
)•(1,-
2
)=-1.

当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1).

代入x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.

则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=

4k2
k2-1
x1x2=
4k2+2
k2-1

于是

CA
CB
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1=
(k2+1)(4k2+2)
k2-1
-
4k2(2k2+1)
k2-1
+4k2+1
=(-4k2-2)+4k2+1=-1.

综上所述,

CA
CB
为常数-1.

(II)证法一:由条件知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).

设M(x,y),则

CM
=(x-1,y),
CA
=(x1-1,y1)
CB
=(x2-1,y2)
CO
=(-1,0)
.由
CM
=
CA
+
CB
+
CO
得:
x-1=x1+x2-3
y=y1+y2
x1+x2=x+2
y1+y2=y

于是AB的中点坐标为(

x+2
2
y
2
).

当AB不与x轴垂直时,

y1-y2
x1-x2
=
y
2
x+2
2
-2
=
y
x-2
,即y1-y2=
y
x-2
(x1-x2)

又因为A,B两点在双曲线上,所以x12-y12=2,x22-y22=2,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),即(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y.

y1-y2=

y
x-2
(x1-x2)代入上式,化简得x2-y2=4.

当AB与x轴垂直时,x1=x2=2,求得M(2,0),也满足上述方程.

所以点M的轨迹方程是x2-y2=4.

证法二:同证法一得

x1+x2=x+2
y1+y2=y

当AB不与x轴垂直时,由(I)有x1+x2=

4k2
k2-1
.②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(
4k2
k-1
-4)=
4k
k2-1
.③

由①②③得x+2=

4k2
k2-1
.④y=
4k
k2-1
.⑤

当k≠0时,y≠0,由④⑤得,

x+2
y
=k,将其代入⑤有y=
x+2
y
(x+2)2
y2
-1
=
4y(x+2)
(x+2)2-y2
.整理得x2-y2=4.

当k=0时,点M的坐标为(-2,0),满足上述方程.

当AB与x轴垂直时,x1=x2=2,求得M(2,0),也满足上述方程.

故点M的轨迹方程是x2-y2=4.

材料题

阅读材料并结合所学知识,回答下列问题。

材料一 同经济革命一样,政治革命也是分为几个阶段发展起来的,17世纪的英国革命标志着其开端,随后的美国革命和法国革命标志着其进一步发展,接着它在19世纪影响了整个欧洲,最后它则在20世纪席卷了整个世界。经济革命和政治革命的并行发展并不是偶然的,实际上这两次革命息息相关。而且在很大程度上可以说是经济革命决定着政治革命,因为它产生了一个有新利益、有使其利益合理化的新意识形态的新阶级。 ——[美]斯塔夫里阿诺斯《全球通史》

材料二 “世界上有2000多个民 族,200多个国家和地区,他们的社会历史发展不同,他们的发展水平不同,民主的形式和途径也是 不相同的。”

材料三 “民主、法制、自由、 * * 、平等、博爱,这不是资本主义所特有的,这是整个世界在漫长的历史过程中共同形成的文明成果,也是人类共同追求的价值观。” ——新华网:温 * * 在2007年3月16日答记者问

(1)从古今中外中列举4种不同的民主形式。

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(2)分别概括指出近代史上英美走上民主制的形式和途径。

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(3)英美民主政体孰优孰劣,试作简要评价。

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(4)从材料三观点的角度,分析法国《 * * 宣言》所产生的影响。

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单项选择题