已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比

问题解答题

已知函数f（x）=（ x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，且对一切自然数n，均有

+…+

=a_n+1，求

lim

n→∞

S2n+1

S2n

的值．

答案

（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．

即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．

∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．

∵

=q2，∴

f(q-1)

f(q+1)

=q2=

(q-2)2

．

∵q≠0，q≠1，∴q=-2．

又b₁=f（q+1）=4，∴b_n=4•（-2）^n-1．

（Ⅱ）由题设知

=a2，∴c₁=a₂b₁=8．

当n≥2时，

+…+

=a_n+1，

+…+

cn-1

bn-1

=an，

两式相减，得

=an+1-an=2．

∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）．

∴S_2n+1=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+1=8+2（3+3²+…+3²ⁿ）=8+2×

32n+1-3

3 -1

=3²ⁿ⁺¹+5．

即S_2n=3²ⁿ⁺¹+5-2×3²ⁿ=3²ⁿ+5．

∴

lim

n→∞

S2n+1

S2n

lim

n→∞

32n+1+5

32n+5