数列{an}的前n项和为Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+2的等比

问题解答题

数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，

Sn+1

；
（Ⅱ）设a₁=-1，求S_n的表达式；
（Ⅲ）设a₁=-1，且{

(pn+q)Sn

}是等差数列（pq≠0），求证：

是常数．

答案

（1）证明：由题意得，当n≥1时，

2n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)

⇒

Sn+1

．…（4分）

（2）由（1）得：

Sn+1

及a₁=-1

可知：数列{

}是以-1为首项，以-

为公差的等差数列，

可求得：Sn=-

n+1

．…（8分）

（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差数列，设公差为d．

则-n²-n=…=2dpn²+[2dq+2p（c₁-d）]n+2q（c₁-d），

所以c₁-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c₁-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，

所以

=1（常数）．…（13分）