问题
问答题
设u0=0，u1=1，un+1=aun+bun-1(n=1，2，…)，其中a，b为常数，又设f(x)=
证明：f(x)=-eaxf(-x)。
答案
参考答案：令 g(x)=-eaxf(-x)，
g’(x)=-aeaxf(-x)+eaxf’(-x)，
g"(x)=-a2eaxf(-x)+2aeaxf’(-x)-eaxf"(-x)，
故 g"(x)-ag’(x)-bg(x)=-eax[f"(-x)-af’(-x)-bf(-x)]=0
即g(x)满足微分方程①
又 g(0)=-f(0)=0，
g’(0)=-af(0)+f’(0)=1，
故g(x)也满足初始条件②，因此g(x)=f(x)，
即 f(x)=-eaxf(-x)。
解析：
[分析]： 可令g(x)=-eaxf(-x)，满足与f(x)相同的微分方程及初始条件，从而f(x)=g(x)。
[评注] 微分方程满足初始条件的解是唯一确定的，由无穷级数引出微分方程是一类重要题型。