问题
解答题
| 已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1． （1）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）项m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
（3）若k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求T2010-S2010． |
答案
（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[an-1+m，bn-1+m]…（2分）
于是an=an-1+m，bn=bn-1+m（n∈N*，n≥2）…（4分）
又a1=0，b1=1，所以an=（n-1）m，bn=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[kan-1+m，kbn-1+m]，因m=2，则bn=kbn-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
bn=4，则lim n→∞
bn=klim n→∞
bn-1+2，得4=4k+2，则k=lim n→∞
符合．…（12分）1 2
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
bn=4．lim n→∞
当k=1不符合．…（9分）
当k≠1时，bn=kbn-1+2(n≥2)⇔bn+
=k(bn-1+2 k-1
)(n≥2)，2 k-1
则bn=(1+
)kn-1-2 k-1
，…（11分）2 k-1
当0＜k＜1时，
bn=lim n→∞
=4，得k=2 1-k
符合．…（12分）1 2
（3）因为k＜0，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kbn-1+m，kan-1+m]…（14分）
于是an=kbn-1+m，bn=kan-1+m（n∈N*，n≥2）
则bn-an=-k（bn-1-an-1）…（16分）
又b1-a1=1
则有T2010-S2010=
…（18分）2010，(k=-1)
，(k＜0，k≠-1)1-k2010 1+k)