问题 解答题
已知定点F(1,0),F′(-1,0),动点P满足|
PF
|,
2
2
|
FF′
|,|PF′|成等差数列
(1)求动点P的轨迹E的方程
(2)过点F(1,0)且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上,求直线l的方程.
答案

(1)由题意可得:|

PF
|+|
PF
|=2•
2
2
|
FF
|=2
2
>|
FF
|

由椭圆的定义可得:动点P的轨迹E是椭圆,且a=

2
,c=1,∴b2=a2-c2=1,

∴动点P的轨迹E的方程为

x2
2
+y2=1.

(2)①当直线l与x轴垂直时,l:x=1.

此时M(1,

2
2
),N(1,-
2
2
)
,以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±
2
2
,0)
,不合题意;

②当直线l与x轴既不垂直也不重合时,设l:y=k(x-1)(k≠0),设M(x1,y1),N(x2,y2).

联立

x2
2
+y2=1
y=k(x-1)
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

x1+x2=

4k2
2k2+1
x1x2=
2k2-2
2k2+1

∴MN的中点坐标为(

2k2
2k2+1
-k
2k2+1
).

则线段MN的中垂线m的方程为y+

k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2+1
),

m:y=-

x
k
+
k
2k2+1

则直线m与y轴的交点为Q(0,

k
2k2+1
),

而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上,

∴QM⊥QN,即

QM
QN
=(x1y1-
k
2k2+1
)•(x2y2-
k
2k2+1
)=0

整理得x1x2+y1y2-

k
2k2+1
(y1+y2)+
k2
(2k2+1)2
=0
,(*)

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-
k2
2k2+1
y1+y2=k(x1+x2-2)=-
2k
2k2+1

代入(*)解得k=±1.

故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0.

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