问题
解答题
已知定点F(1,0),F′(-1,0),动点P满足|
(1)求动点P的轨迹E的方程 (2)过点F(1,0)且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上,求直线l的方程. |
答案
(1)由题意可得:|
|+|PF
|=2•PF′
|2 2
|=2FF′
>|2
|,FF′
由椭圆的定义可得:动点P的轨迹E是椭圆,且a=
,c=1,∴b2=a2-c2=1,2
∴动点P的轨迹E的方程为
+y2=1.x2 2
(2)①当直线l与x轴垂直时,l:x=1.
此时M(1,
),N(1,-2 2
),以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±2 2
,0),不合题意;2 2
②当直线l与x轴既不垂直也不重合时,设l:y=k(x-1)(k≠0),设M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
+y2=1x2 2 y=k(x-1)
∴x1+x2=
,x1x2=4k2 2k2+1
.2k2-2 2k2+1
∴MN的中点坐标为(
,2k2 2k2+1
).-k 2k2+1
则线段MN的中垂线m的方程为y+
=-k 2k2+1
(x-1 k
),2k2 2k2+1
即m:y=-
+x k
,k 2k2+1
则直线m与y轴的交点为Q(0,
),k 2k2+1
而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上,
∴QM⊥QN,即
•QM
=(x1,y1-QN
)•(x2,y2-k 2k2+1
)=0,k 2k2+1
整理得x1x2+y1y2-
(y1+y2)+k 2k2+1
=0,(*)k2 (2k2+1)2
由y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- k2 2k2+1 y1+y2=k(x1+x2-2)=- 2k 2k2+1
代入(*)解得k=±1.
故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0.