已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=17，S10=100．（I）求数

问题解答题

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=17，S₁₀=100．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）若数列{b_n}满足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

答案

（I）设a_n首项为a₁，公差为d，

则

a1+d=17

10(2a1+9d)

=100

解得

a1=19

d=-2

（5分）∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n（7分）

（II）∵b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ

当n为偶数时，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）

=(-2)×

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2（10分）

当n为奇数时，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）

=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+

2(1-2n)

1-2

=-19+2×

n-1

+2n+1-2=2ⁿ⁺¹+n-22（13分）

∴Tn=

2n+1-n-2(当n为偶数)

2n+1+n-22(当n为奇数)

（14分）