问题
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使
答案
参考答案：[证明] 令F(x)=f(x)[f(1-x)]k，则
F(1)=f(1)[f(0)]k=0，F(0)=f(0)[f(1)]k=0．
由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即
f’(ξ)[f(1-ξ)]k-k[f(1-ξ)]k-1f’(1-ξ)f(ξ)=0．
整理即得
解析： 将上式中的ξ改为x，并将上式改写为
f’(x)f(1-x)-kf(x)f’(1-x)=0．
令g(x)=[f(1-x)]k，应作辅助函数F(x)=f(x)g(x)，则
F’(x)=[f(x)g(x)]’={f(x)[f(1-x)]k}’
=f’(x)[f(1-x)]k-k[f(1-x)]k-1f’(1-x)f(x)．