问题
问答题
设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
证明：β不是A的特征向量
答案
参考答案：证一 假设β为A的特征向量，则存在λ0，使Aβ=λ0β，即
得(λ1-λ0)α1+(λ2-λ0)α2+(λ3-λ0)α3=0．由α1，α2，α3线性无关知从而有λ1=λ2=λ3，这与已知条件矛盾，因此β不是A的特征向量．
证二 因α1，α2，α3是属于不同特征值的特征向量，故α1+α2+α3必不是A的
解析： 可用反证法证之