问题
单项选择题
设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[-1，0，2，0]T，则方程组A*X=0的基础解系为______．
A．α1，α2，a3
B．α1+α2，α2+α3，α3+α1
C．α2，α3，α4
D．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1
答案
参考答案：C
解析： 由AX=0的基础解系所含解向量个数为1知，
n-r(A)=4-r(A)=1，故r(A)=3．因而可确定r(A*)=1，于是A*X=0的一个基础解系含3个解向量．
解一 由AX=0的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)=3，从而r(A*)=1，于是方程组A*X=0的基础解系中仅含3个解向量．
又A*A=A*[α1，α2，α3，α4]=|A|E=O，所以向量α1，α2，α3，α4是方程组A*X=0的解，因为[1，0，2，0]T是AX=O的解，故有α1+2α3=0，即α1，α3线性相关，从而向量组α1，α2，α3和向量组α1，α2，α3，α4均线性相关，故排除A、B、D．仅C入选．
解二 由解一知，α1，α2，α3，α4均为A*X=0的解向量，且其基础解系只含3个解向量．由α1+2α3=0得
α1=0α2-2α3+0α4，
即α1可由α2，α3，α4线性表示，又
r(α1，α2，α3，α4)=3，
所以α2，α3，α4线性无关，即α2，α3，α4为A*X=0的一个基础解系．仅C入选．