问题
解答题
函数f（x）=
（Ⅰ）求集合A； （Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围； （Ⅲ）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求3a+b的最大值． |
答案
（Ⅰ）令
=t≥1，则x2=t2-1，x2+1
f（x）≤0即
x2-31 2
+x2+1
≤0即t2-6t+8≤0，9 2
∴2≤t≤4，所以2≤
≤4，所以x∈[-x2+1
，-15
]∪[3
，3
]，15
即A=[-
，-15
]∪[3
，3
]，…（5分）15
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=
x2-(a+b)1 2
+x2+1
≥0恒成立，9 2
∵
x2+1 2
≥a9 2
，即ax2+1
≤x2+1
x2+1 2
，9 2
∵
＞1，x2+1
a≤
=
x2+1 2 9 2 x2+1
×1 2
=x2+9 x2+1
(1 2
+x2+1
)恒成立，8 x2+1
因为
(1 2
+x2+1
)≥8 x2+1
×21 2
=28
，所以a≤22
．2
…（11分）
（Ⅲ）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b≤
=
x2+1 2 9 2 x2+1
×1 2 x2+9 x2+1
得a+b≤2
，2
由g（x）=ax2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(
)max，b x2
∵b＞0，∴a≤(
)max=b x2
，≥3a． …（14分）b 3
∴a，b满足条件
所表示的区域，设3a+b=t，b=-3a+t，a+b≤2 2 3a≤b b＞0
根据可行域求出当a=
，b=2 2
时取得．3 2 2
所以3a+b的最大值为3
． …（16分）2