已知等比数列{an}各项都是正数，a1=3，a1+a2+a3=21，Sn为{an

问题解答题

已知等比数列{a_n}各项都是正数，a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，S_n为{a_n}的前n项和，

（Ⅰ）求通项a_n及S_n；

（Ⅱ）设{b_n-a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，

代入已知可得3+3q+3q²=21，解得q=2，或q=-3（舍去），

故a_n=3×2^n-1，S_n=

3(1-2n)

1-2

=3×2^n-1-3；

（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，

∴b_n-a_n=1+3（n-1）=3n-2，即b_n=3×2^n-1+3n-2

故T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+4+7+…+3n-2）

3(1-2n)

1-2

n(1+3n-2)

=3×2ⁿ-3+

3n2-n