问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设bn=log2（an+1）， （1）求证数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn； （3）设cn=
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答案
（1）当n=1时，S1=2a1-1，得a1=1． （1分）
∵Sn=2an-n，
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-（n-1），
两式相减得：an=2an-2an-1-1，
∴an=2an-1+1． （3分）
∴an+1=2an-1+2=2（an-1+1），（5分）
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列． （6分）
（2）由（1）得an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1，n∈N*． （8分）
∴bn=log2（an+1）=log22n=n，n∈N*． （10分）
（3）cn=
，cn+1=2n anan+1
①2n+1 an+1an+2
cn+1-cn=
-2n+1 (2n+1-1)(2n+2-1) 2n (2n-1)(2n+1-1) =
＜0-2×4n-2n (2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1)
∴数列{cn}单调递减．（12分）
∴①n=1时数列{cn}的最大值为c1=
．（14分）2 3
②由cn=
=2n (2n-1)(2n+1-1)
-1 2n-1
，（16分）1 2n+1-1
所以c1+c2+…+cn=1-
．∴1 2n+1-1
(c1+c2+…+cn）=1．（18分）lim n→∞
