问题
解答题
| 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…． （Ⅰ）若a1=1，a2=3，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{an}是公比为q的等比数列； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若公比q=2，a1=2，令bn=
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答案
（Ⅰ）对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），即an+1-a1=an+2，亦即an+2-an-1=a2-a1=2．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是an=1+（n-1）×2=2n-1
证明：（Ⅱ）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得an+2-a2=q（an+1-a1），
即an+2-qan+1=a2-a1．由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以
=an+2 an+1
=q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，a2 a1
（Ⅲ）由（II）得bn=
，2n-1 2n
∴Tn=
+1 21
+3 22
+…+5 23
+2n-3 2n-1
①2n-1 2n
Tn= 1 2
+1 22
+…+3 23
+2n-5 2n-1
+2n-3 2n
②2n-1 2n+1
①-②得
Tn=1 2
+1 21
+2 22
+…+2 23
+2 2n-1
-2 2n 2n-1 2n+1
=
+(1 21
+1 21
+…+1 22
+1 2n-2
)-1 2n-1
=2n-1 2n+1
-3 2
-1 2n-1
．2n-1 2n+1
∴Tn=3-
-1 2n-2
=3-2n-1 2n
，2n+3 2n
设f(n)=
，n∈N*，则由2n+3 2n
=f(n+1) f(n)
=2n+5 2n+1 2n+3 2n
=2n+5 2(2n+3)
+1 2
≤1 2n+3
+1 2
＜11 5
得f(n)=
，n∈N*随n的增大而减小2n+3 2n
∴当n→+∞时，Tn→3，又Tn＜m（m∈Z）恒成立，
∴mmin=3