有穷数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，现从中抽取某一项（不包括首项

问题解答题

有穷数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．

①求数列{a_n}的通项a_n；

②求这个数列的项数，抽取的是第几项？

答案

①由S_n=2n²+n得a₁=S₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，显然满足n=1，

∴a_n=4n-1，

∴数列{a_n}是公差为4的递增等差数列．

②设抽取的是第k项，则S_n-a_k=79（n-1），a_k=（2n²+n）-79（n-1）=2n²-78n+79．

由

ak＞a1

ak＜an

⇒

2n2-78n+79＞3

2n2-78n+79＜4n-1

⇒38＜n＜40，∵n∈N^*，∴n=39，

由a_k=2n²-78n+79=2×39²-78×39+79=4k-1⇒k=20．

故数列{a_n}共有39项，抽取的是第20项．