问题
单项选择题
设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则()
A.X+Y服从正态分布
B.X2+Y2服从χ2分布
C.X2和Y2都服从χ2分布
D.X2/Y2服从F分布
答案
参考答案:C
解析:
χ2变量的典型模式是
,
其中Xi要求满足:Xi相互独立;Xi~N(0,1).称χ2为参数为n的χ2变量.
F变量的典型模式是
其中X,Y要求满足:X与Y相互独立;X~χ2(n1);Y~χ2(n2)称F为参数为(n1,n2)的F变量.
我们可以逐项验证四个选项.
方法1:根据题设条件,X和Y均服从N(0,1).故X2和Y2都服从χ2(1)分布.
答案应选(C).
方法2:题设条件只有X和Y服从N(0,1),没有X与Y的相互独立条件.因此,X2与Y2的独立条件不存在,选项(B)、(D)均不正确.
题中条件既没有X与Y独立,也没有(X,Y)正态,这样就不能推出X+Y服从正态分布的选项(A).根据排除法,正确选项必为(C).
答案应选(C).