已知数列{an}中，a1=1，an=an-1•3n-1（n≥2，n∈N*），数列

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn=log3(

)(n∈N*)．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{|b_n|}的前n项和．

答案

（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1•3^n-1，两边取以3为底的对数得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）移向得log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，

log₃a₂-log₃a₁=1，

log₃a₃-log₃a₂=2，

…

log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，

以上各式相加得（n≥2）

log3an-log3a1=1+2+…+(n-1)=

n(n-1)

，log3an=

n(n-1)

，且对n=1时也成立．

∴Sn=log3(

n2-5n

(n∈N*)

∴b₁=S₁=-2，

当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n-3，且对n=1时也成立

∴数列{b_n}的通项公式b_n=n-3（n∈N^*）．

（II）设数列{|b_n|}的前n项和为T_n，当bn=n-30≤0即n≤3时，Tn=-(b1+b2+…+bn)=-S n=

5n-n2

；n＞3时，Tn=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+…+an)=Sn-2S3=

n2-5n+12