问题
问答题
假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知Y=lnX服从正态分布N(μ,1).
(1)求X的数学期望EX(记EX为b);
(2)求μ的置信度为0.95的置信区间;
(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.
答案
参考答案:
Y=lnX,所以X=eY.题设条件Y为正态,故E(X)=E(eY)可用函数的期望的公式求得.
将X的样本可以转化成Y的样本,从而对正态Y~N(μ,1)中的μ求得置信区间.
最后,再从μ的置信区间转得b的置信区间.
(1)Y的概率密度为
于是
(2)当置信度1-α=0.95时,α=0.05.标准正态分布的双侧分位数等于1.96.故由
,可得参数μ的置信度为0.95的置信区间为
其中
表示总体Y的样本均值,
最后得到μ的置信度为0.95的置信区间(-0.98,0.98).
(3)由指数函数ex的严格单调上升性,有
因此b的置信度为0.95的置信区间为(e-0.48,e1.48).