参考答案：

[简解] 随机变量X和Y不相关，即cov(X，Y)=0．

事件A与B相互独立，就是P(AB)=P(A)P(B)．要找出这两者之间的联系就应从cov(X，Y)

=E(XY)-E(X)E(Y)入手．

cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，

同理，E(Y)=2P(B)-1．

现在求E(XY)，由于XY只有两个可能值1和-1，所以

E(XY)=1·P{XY=1}+(-1)P{XY=-1}，

其中P(XY=1)=P(X=1，Y=1)+P{X=-1，Y=-1}=P(AB)+P(

)

=P(AB)+1-P(A∪B)=2P(AB)-P(A)-P(B)+1

和P{XY=-1}=P{X=1，Y=-1}+P{X=-1，Y=1}=P

=P(A)+P(B)-2P(AB)

(或者P(XY=-1)=1-P{XY=1)=P(A)+P(B)-2P(AB)．

所以，E(XY)=P{XY=1)-P{XY=-1}=4P(AB)-2P(A)-2P(B)+1，

cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

=4P(AB)-2P(A)-2P(B)+1-[2P(A)-1][2P(B)-1]

=4[P(AB)-P(A)P(B)]．

因此，cov(X，Y)=0当且仅当P(AB)=P(A)P(B)，即X与Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．