问题
解答题
（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
第1列 第2列 第3列 …第n列
第1行 a1，1 a1，2 a1，3 …a1，n
第2行 a2，1 a2，2 a2，3 …a2，n
第3行 a3，1 a3，2 a3，3 …a3，n
…
第n行 an，1 an，2 an，3 …an，n
其中ai，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a2，3=8，a3，4=20．
（1）求a1，1a2，2；
（2）设An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1求证：An+n能被3整除．
答案
（1）由题意，a2，3=8，
a3，4=20，
所以a1，3=3，a1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a1，1=2，a1，2=3，
得a2，2=2a1，2=6．
（2）同（1）可得，a1，n=n+1，a2，n-1
=2n，a3，n-2
=22（n-1），…，an-1，2
=3×2n-2，an，1
=2×2n-1
所以An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1
=（n+1）+n×21+（n-1）×22+（n-2）×23+…+2×2n-12An
=（n+1）×21+n×22+（n-1）×23+…+3×2n-1+2×2n
两式相减，得An=-（n+1）+21+22+23+…+2n-1+2×2n
=-(n+1)+
+2×2n2(1-2n-1) 1-2
=-（n+1）+2n-2+2×2n
=3×2n-3-n
所以An-n=3×（2n-1），
故An+n能被3整除．