（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：

问题解答题

（文科）已知n²（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：

第1列第2列第3列 …第n列

第1行 a_1，1a_1，2a_1，3…a_1，n

第2行 a_2，1a_2，2a_2，3…a_2，n

第3行 a_3，1a_3，2a_3，3…a_3，n

…

第n行 a_n，1a_n，2a_n，3…a_n，n

其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．

（1）求a_1，1a_2，2；

（2）设A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求证：A_n+n能被3整除．

答案

（1）由题意，a_2，3=8，

a_3，4=20，

所以a_1，3=3，a_1，4=5，

故第1行公差d=1，

所以a_1，1=2，a_1，2=3，

得a_2，2=2a_1，2=6．

（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，a_2，n-1

=2n，a_3，n-2

=2²（n-1），…，a_n-1，2

=3×2^n-2，a_n，1

=2×2^n-1

所以A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1

=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-12A_n

=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ

两式相减，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ

=-(n+1)+

2(1-2n-1)

1-2

+2×2n

=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ

=3×2ⁿ-3-n

所以A_n-n=3×（2ⁿ-1），

故A_n+n能被3整除．