问题
解答题
| 已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）． （1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （2）求{an}的通项公式； （3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan，求
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答案
（1）由an+1=（1+q）an-qan-1得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1（n≥2）（2分）
又a1=1，a2=2，所以b1=a2-a1=1，又q≠0．
所以{bn}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）bn=qn-1（5分）
注：在证明中若从bn=qbn-1（n≥2）得出{bn}是等比数列扣（1分）．
（2）由bn=an+1-an及bn=qn-1得an+1-an=qn-1（6分）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=qn-2+qn-3+…+q+1+（18分）
当q=1时an=n（9分）
当q≠1时an=
+1（10分）1-qn-1 1-q
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=
+1=1-qn-1 1-q
+2-q 1-q qn-1 q-1 An=
a1+C 1n
a2+…+C 2n
anC nn =
(2-q 1-q
+C 1n
+…+C 2n
)+C nn
(1 q-1
q0+C 1n
q1+…+C 2n
qn-1)C nn
=
(2n-1)+2-q 1-q
[(1+q)n-1]（13分）1 q(q-1)
=An 2n
(1-q-2 q-1
)+1 2n
[(1 q(q-1)
)n-1+q 2
]1 2n
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2⇒-1＜
＜1q+1 2
则
(lim n→∞
)n=0，又1+q 2 lim n→∞
=01 2n
所以lim n→∞
=An 2n
{lim n→∞
(1-q-2 q-1
)+1 2n
[(1 q(q-1)
)n-1+q 2
]}=1 2n
（16分）q-2 q-1