问题
问答题
设D是xOy平面上有界闭区域，函数u(x，y)在D上定义，在D的内部成立u"xx+u"yy+cu=0，其中c＜0为常数，证明：
(1)u在D上的正最大值(负最小值)不能在D的内部取得．
(2)若u在D上连续，且在D的边界上u=0，则在D上u≡0．
答案
参考答案：[证明] (1)若u(x，y)在D上正最大值在D内部某点(x0，y0)取得，则(x0，y0)为u(x，y)的极大值点，又u"xx(x0，y0)+u"yy(x0，y0)=-cu(x0，y0)＞0，则u"xx(x0，y0)和u"yy(x0，y0)中至少有一个大于零，不妨设u"xx(x0，y0)＞0，由于二元函数u(x，y)在(x0，y0)取极大值，则一元函数u(x，y0)在x0应取极大值，这与u"xx(x0，y0)＞0矛盾．
(2)由于u(x，y)在有界闭区域D上连续，则u(x，y)在D上有最大值和最小值，若u(x，y)在D上不恒为零．不妨设u(x，y)在D内部的点(x0，y0)处函数值大于零，即u(x0，y0)＞0，则u(x，y)在D上最大值为正，且一定在D内部取到，这已与(1)矛盾．故在D上u(x，y)≡0．
