（I）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，

∴a₁=S₁=2+2=4，

a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，

当n=1时，4n=4=a₁，

∴a_n=4n．

∵数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n，

∴当n=1时，T₁=b₁=2-b₁，解得b₁=1．

当n＞1时，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，

∴T_n-T_n-1=b_n=b_n-1-b_n，∴2b_n=b_n-1，

∴

bn

bn-1

=

1

2

，

∴数列{b_n}是以首项为1，公比为

1

2

的等比数列，

∴bn=(

1

2

)n-1，n∈N^*．

（II）∵cn=

anbn

4

=n•(

1

2

)n-1，

∴数列{c_n}的前n和：

R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n

=1•（

1

2

）⁰+2×（

1

2

）¹+3×（

1

2

）²+…+（n-1）•（

1

2

）^n-2+n•（

1

2

）^n-1，①

∴

1

2

Rn =1•（

1

2

）¹+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+（n-1）•（

1

2

）^n-1+n•（

1

2

）ⁿ，②

①-②，得

1

2

Rn=1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）n

1

2

Rn=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•（

1

2

）n

=2-(

1

2

)n+1-n•（

1

2

）ⁿ，

∴Rn=4-2(n+2)(

1

2

)n＜4；

（ III）∵c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n

=4n+(-1)nlog2(

1

2

)n-1

=4n+（-1）ⁿ（1-n），

∴数列{c_n}的前2n和

R_2n=[4×1+（-1）¹（1-1）]+[4×2+（-1）²（1-2）]+[4×3+（-1）³（1-3）]+…+[4×2n+（-1）²ⁿ（1-2n）]

=4（1+2+3+…+2n）+[0-1+2-3+…+（2n-2）-（2n-1）]

=4×

2n(1+2n)

2

-n

=8n²+3n．

∴R_2n=8n²+3n．