问题
解答题
已知双曲线C：
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值． |
答案
（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．
点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是
和|x1-2y1| 5
，|x1+2y1| 5
它们的乘积是
•|x1-2y1| 5
=|x1+2y1| 5
=|x12-4y12| 5
．4 5
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x-3）2+y2=(x-3)2+
-1=x2 4
(x-5 4
)2+12 5 4 5
∵|x|≥2，∴当x=
时，|PA|2的最小值为12 5
，4 5
即|PA|的最小值为
．2 5 5