已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2+n(n∈N*)．（I）求数列

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若∃n∈N^*，使T_n＜C成立，求实数C的取值范围．

答案

（I）当n=1时，a₁=S₁=1+n=2．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．当n=1时也成立．

∴an=2n(n∈N*)．

（II）∵bn=

(n+1)an

2n(n+1)

n+1

．

∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

)+(

)+…+(

n+1

)

=1-

n+1

．

（III）若∃n∈N^*，使T_n＜C成立⇔（T_n）_min＜C，

∵n≥1，Tn=1-

n+1

≥1-

1+1

，即(Tn)min=

．

∴实数C的取值范围是(

，+∞)．