问题
解答题
已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.
答案
(Ⅰ)不等式f(x)+a-1>0即为|x-2|+a-1>0,
当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,解集为全体实数R;
当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).
(Ⅱ)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立,(7分)
又由不等式的性质,对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,
故m的取值范围是(-∞,5).