问题 解答题

已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.

(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);

(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.

答案

(Ⅰ)不等式f(x)+a-1>0即为|x-2|+a-1>0,

当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);

当a>1时,解集为全体实数R;

当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).

(Ⅱ)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,

即|x-2|+|x+3|>m恒成立,(7分)

又由不等式的性质,对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,

故m的取值范围是(-∞,5).

单项选择题
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