问题 解答题
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn-1+1,(n∈N,n≥2),
①求数列{an}的通项公式;
②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;
③设数列{dn}满足dn=
4
anan+1
+bn
,求{dn}的前n项和为Tn
答案

①由a2=a1+d=4,S5=5a1+

5×4
2
d=30得:a1=2,d=2,

∴an=2+2(n-1)=2n…(4分)

②∵bn=2bn-1+1,cn=bn+1,

cn
cn-1
=
bn+1
bn-1+1
=
2(bn-1+1)
bn-1+1
=2(n≥2,n∈N)

∴{cn}是以2为公比的等比数列.

又∵c1=b1+1=1,

∴cn=bn+1=1×2n-1=2n-1

∴bn=2n-1-1…(9分)

③∵dn=

4
anan+1
+bn=
4
2n•2(n+1)
+2n-1-1=(
1
n
-
1
n+1
)+2n-1-1,

∴Tn=[(1-

1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]+(1+2+22+…+2n-1)-n

=(1-

1
n+1
)+
1-2n
1-2
-n

=2n-n-

1
n+1
(14分)

单项选择题
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